Не, ну а как? Заменяем х^2 на z. Получаем приведённое квадратное уравнение. По частному случаю теоремы Виета получаем, что z1+z2 = -3, а z1*z2 = 8. Сумма отрицательная, а произведение положительное ==> значит оба числа отрицательные. А теперь смотрим на замену. Получаем, что x = sqrt(z), то есть корни из отрицательных чисел ==> нет действительных корней, только комплексные.
Господа, да тут и без теоремы Виета видно, что корней действительных нет. И быстрее всего это можно увидеть, если сделать так: уравнение x^4+3*x^2+8=0 <=> (x^2 + 3/2)^2 + 23/4=0. Т.е. просто выделить в уравнении полный квадрат. А тогда получим, что (x^2 + 3/2)^2 = -23/4 , т.е. квадрат действительного числа равен отрицательному действительному, чего быть не может, ясное дело.
Если же представить график функции
f(x)=x^4+3*x^2+8=(x^2 + 3/2)^2 + 23/4
то видно, что минимум функции будет при x=0, min{f(x)}=f(0)=8, т.е. явно график лежит выше оси абсцисс и пересечений с ней не имеет. А комплексные корни, конечно же, уравнение имеет (и это гарантирует нам т.н. "основная теорема высшей алгебры"), и их несложно найти.
Такая вот, тривиальная детская школьная алгебра

.